Problèmes > Probabilité > Variables aléatoires > Loi de Poisson

Exemple 2     Calculs reliés à la loi de Poisson.

█  L'énoncé du problème  

1. On prend plusieurs décisions dans une journée. Supposons que le nombre de bonnes décisions suit une loi de Poison de moyenne 10 et les mauvaises, une Poisson de moyenne 1. Quelle est la probabilité de prendre

1) une mauvaise décision aujourd'hui ?

2) au moins 2 mauvaises décisions aujourd'hui ?

3) 5 mauvaises décisions cette semaine ?

4) 10 décisions au total aujourd'hui ?

█  De quoi s'agit-il ?

Il y a 2 lois de Poisson ici. 

La première question se répond directement.

A la deuxième question, on  rencontre un cul de sac si on répond directement. (Une somme infinie de probabilités à évaluée)

Pour la troisième, on doit changer d'échelle de  temps et donc ajuster la moyenne de la loi.

A la quatrième, c'est un 'mélange' des 2 lois.

█  Ce que l'on suppose connue pour résoudre le problème

La formule donnant les probabilités pour la loi de Poisson.

Le théorème d'addition pour les probabilités.

Le truc de la probabilité d'un évènement complémentaire.

Le fait que la somme de loi de Poisson indépendantes est toujours une loi de Poisson

█  Ce que l'on apprendra à résoudre ce problème 

Apprendre à utiliser la formule donnant les probabilité pour une loi de Poisson.

Se servir du truc de la  probabilité contraire lorsqu'on rencontre un calcul qui s'annonce difficile.

Que la somme de lois de Poisson est une loi de Poisson dont la moyenne se calcul à l'aide des autres moyennes.

█  Solution ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1) On doit évaluer P(X = 1) où X est le nombre de mauvaises décisions par jour. La formule pour cette loi de Poisson avec la moyenne = 1 est

Réponse  0.368

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2) Ici, on doit évaluer ce qui est décourageant, la somme est infinie. Le truc de la probabilité contraire va nous aider.

Le contraire de , c'est  P(X < 2) = P(X = 1) + P(X = 0)      

Réponse  0.264

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3) On change d'échelle de temps, on considère 7 jours, pour la semaine. A 1 mauvaise décision par jour en moyenne, on peut deviner que ce sera 7 mauvaises décisions par semaine, en moyenne.

On peut le justifier en voyant que la semaine est la somme de 7 lois de Poisson de moyenne 1 et indépendantes, en supposant que les décisions d'une journée à l'autre sont bien indépendantes. 

C'est un résultat connu que la somme de Poisson indépendantes est une Poisson dont la moyenne est la somme totale des moyennes. 

Réponse  0.128

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4) On parle des décisions en tout, donc d'une somme de 2 lois de Poisson de moyenne 1 et 10, par jour. On supposera que les bonnes et mauvaises décisions sont indépendantes.  La moyenne des décisions sera donc de 1 +10 = 11 par jour ( voir 3).  

Réponse  0.119

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